허준이는 부모가 미국 캘리포니아 스탠포드에서 박사 과정을 진행 중일 때 그곳에서 태어났고, 미국에서 태어났지만 한국에서 초중고부터 대학교를 거쳐 대학원 석사까지 교육을 받았다. 고등학교 때 시인이 되고 싶어 자퇴하고 검정고시를 보았다.
수학 영재들은 흔히 어렸을 때 두각을 드러내고, 어릴 때 싹수가 보이지 않으면 희망이 없다고 세간에 알려져 있지만, 허준이는 어린 시절 구구단을 외우는 것도 버거워했고, 수학을 포기한 수포자였는데도 반전에 성공한 케이스이다.[4] 그래서 수학에 대한 적성과 재능이 나타나기까지 한참 시간이 걸렸다. 허준이는 대학 4학년이 돼서야 수학을 시작하였다.#
어렸을 때는 학교 공부에 마음을 붙이지 못했다. 중1 시절, 수학을 업으로 삼는 아버지가 수학 문제집을 풀라고 하자 몰래 답지를 보고 베꼈고 이를 안 아버지가 답지를 없애버리자 허준이는 서점에 가서 답지를 보고 베꼈다. 그런 일이 있고 나서 수학을 전공했고 교수이기도 한 아버지는 아들을 포기하였다. (허준이의 아버지는 서울대 응용수학과의 후신인 서울대 계산통계학과 출신이다.) 중3이 되어서야 수학 경시대회나 과학고에 가볼까 생각했지만 선생님이 너는 이미 늦었다고 해서 포기하고 동네 일반고에 진학하였다. 건강상의 문제가 있긴 했으나 야간학습으로 얽매인 생활이 싫었고, 한편으로 시인이 되고 싶다는 생각에 고등학교를 1년 만에 자퇴했다. 자퇴 후 일년은 국립중앙도서관에서 이런저런 문학책을 읽으며 지냈다. 나머지 일년은 재수생 학원을 다녔는데 거기서 실력이 급상승하였고 결국 서울대학교 자연과학대학 물리학과에 입학하였고, 수리과학부, 물리천문학부를 복수전공하여 졸업하였다. 서울대 학부시절에는 주변에 뛰어난 친구들이 많았고 열심히 공부하지도 않아 성적표엔 F가 가득했다.# 이후 서울대학교 대학원 수학과에서 석사 학위를 취득했다.
학부 시절엔 과학기자가 되고자 했다. 4학년이 될 때까지 그랬다. 그의 인생은 학부 4년때 서울대 초빙석좌교수로 들어온 필드메달 수상자 히로나카 헤이스케[5]를 만나면서 달라졌다. 자신의 첫번째 과학기사를 히로나카로 하겠다는 생각으로 히로나카의 대수기하학 강의를 수강하였다. 이렇게 히로나카를 만나게 된 허준이는 그로부터 감명을 받고 그의 조언을 받아들여 전공을 수학으로 바꾸기로 한다. 허준이는 서울대학교 수학과 대학원에 진학하게 되었고 2년 석사과정 내내 히로나카는 지도교수이자 멘토로 지대한 영향을 주었다.[6]
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왼쪽부터 히로나카 헤이스케, 허준이, 허준이의 아내 김나영
허준이는 서울대학교에서 석사과정을 마치고 미국대학교 12곳에 박사과정 지원을 하였는데 일리노이 대학교 UIUC를 제외한 모든 지망 대학에서 거절당했다. 허준이는 UIUC 수학과 박사과정에서 엄청난 열의로 학업에 임하였다. 박사과정 1학년 말에 리드 추측(Read's conjecture)을 증명했다. 완전히 풀고나서도 자신이 푼 문제가 정작 유명한 난제였는지 몰랐다고 한다. 리드 추측이 해결되었다는 소문이 미국 수학계에 퍼졌다. 미시간 대학교 수학과의 러브콜을 받고 학교를 옮겨 미시간 앤아버에서 박사공부를 마쳤다.
아버지는 고려대 통계학과 허명회 명예교수, 어머니는 서울대 인문대학 노어노문학과 이인영 명예교수다.# 아버지 허명회 교수는 서울대학교 계산통계학과(前응용수학과, 後컴퓨터공학부, 통계학과)를 졸업하고 미국 스탠퍼드 대학교에서 통계학 박사학위를 취득한 후 1984년부터 2020년 정년퇴임까지 고려대학교 통계학과 교수로 재직했다. 현재는 성신여자대학교 석좌교수이다. 어머니 이인영 교수는 이화여자대학교 영어영문학과를 졸업하고 고려대학교 노어노문학과에서 석사학위를, 스탠퍼드 대학교에서 러시아어학 박사학위를 받은 후 1985년 서울대 노어노문학과 조교수로 부임하여 2010년 교수직에서 퇴직했다. 허준이 본인은 스탠퍼드에서 태어났고 1년간 수학과 교수로 재직하였다.
현대 한국 최고의 조각가 권진규(할머니 권경숙의 오빠)의 조카손자이기도 하다. 아내 김나영은 서울대 수학과 대학원 동기라고 한다.